Description

• Sigma-algebraer: definition og egenskaber, Borel sigma-algebraen.
• Mål: definition og egenskaber, Lebesguemålet, sandsynlighedsmål.
• Entydighed af mål, herunder Dynkinsystemer.
• Målelige funktioner: definition og egenskaber.
• Konstruktion af integralet (simple funktioner, positive funktioner, reelle funktioner og komplekse funktioner).
• Konvergens sætninger: monoton og majoriseret konvergens, Fatou's Lemma, sammenhæng med Riemann integralet.
• Funktioner defineret ved et integral, kontinuitet og differentiabilitet.
• Funktionsrummet L^p, vigtige uligheder, fuldstændighed.
• Produktmål. Tonelli og Fubinis sætninger.

De studerende forventes ved kursets afslutning at have viden om materialet nævt i kursusbeskrivelsen; færdigheder til at anvende dette materiale i andre kurser (hvor det er benyttet) og til at løse problemer i mål- og integralteori og vedrørende L^p-funktionsrummene. De studerende forventes desuden at have følgende kompetencer:

• Behandle komplekse problemer indenfor analyse og målteori.
• Være istand til at afgøre om et integrationsteoretisk argument er rigoristisk.
• Forstå begrebet målelighed af mængder og funktioner.
• Anvende sætninger om Lebesgueintegralet i konkrete situationer, herunder sætninger om linearitet og ombytning af integration og grænser.
• Være istand til at håndtere dobbeltintegraler.
• Kende L^p rum og være fortrolig med klassiske uligheder, som involverer p-normen.
• Kan løse problemer i grænseområdet mellem målteori, integrationsteori,  og L^p-rum

Recommended qualifications

Analyse 1 (An1) og Lineær Algebra (LinAlg)